Let us look at some of the application of matrices in real life situations:
Use of Matrices in Science / Application of Matrices in Physics Matrix or Matrices are used in optic science to account for refraction and reflection. Matrices are also useful in electrical circuits and quantum physics. Moreover, matrices are used to solve AC network equations in electrical circuits.
Uses of Matrices in Mathematics/ Application of Matrices in Statistics Uses of matrices in Maths include solving the linear equations. Matrices are incredibly useful concepts that occur in various applied areas.
Uses of Matrices in Graphics Digital images are referred to as matrices when used in graphic design. The rows and columns of the matrix are equivalent to the rows and columns of pixels, to put it another way. Additionally, the number entries match the colour codes of the pixels. Additionally, graphs can be represented using matrices. Each column and row of a matrix is a point on a network, and the value of their intersection is the link they have, hence every graph can be represented as a matrix.
Let’s start with the basics. At a young age, we were taught how to count with positive numbers, such as one, two or three. Later in primary school, we were also introduced to negative numbers: for example, -19 is a negative number. I’m also going to assume that you are familiar with square roots (if not, you should revise). It is commonly taught to students that one cannot take the square root of negative numbers. But what if we could?
You may be wondering, “How is it possible to take the square root of a negative number?” In fact, mathematicians before the 16th century would’ve thought so as well. This was until Italian mathematician Gerolamo Cardano broke the convention by inventing imaginary numbers, in a desperate attempt to solve cubic equations. Throughout history, mathematicians have always loved to break their own rules: apart from taking the square root of a negative number, Ramanujan once proved that 1 + 2 + 3 + 4… all the way up to infinity is equal to -1/12. Another mathematician, Georg Cantor, proved that there are as many even numbers as positive integers. Therefore, what Cardano did was not uncommon (at least in historical records).
So what is an imaginary number? An imaginary number is a multiple of i = √-1. For example, √-25 is an imaginary number because it can be rewritten as √-25 = √25 × -√1 =5i. Furthermore, one can add a real number to an imaginary number to form a complex number. To demonstrate this, one can add 3, a real number, to 3i, an imaginary number, to form the complex number 3+3i.
Algebra is used in many places in everyday life. Algebra is used in financial planning in everyday life. Algebra is used to calculate the interest rate of banks and to calculate the repayment amount of the loan. Also used to trace money growth.
Algebra is used to plan the diet needed to control one's height, obesity etc. Doctors use algebra to plan drug dosages based on a person's age and weight. Engineers use algebra to design roads, bridges, and tunnels, and architectural engineers to design buildings.
In algebra each is represented by a scale, so structures designed using it are in perfect proportion. It is used in computer and telephone. Let's see some examples. The logarithm is used to calculate sound levels because the human ear's ability to perceive sound is difficult to measure (1 to 1000 millionths). The unit decibel is used for hearing ability in honor of Alexander Graham Bell, who invented the telephone.
Based on today's world population, its rate of increase can be approximated by relating it to the exponential function. The radioactive element carbon-14 decays according to a layer-dependent formula.
அன்றாட வாழ்வில் இயற்கணிதம் பல இடங்களில் பயன்படுகின்றன. அன்றாட வாழ்வில் நிதி திட்டமிடலில் இயற்கணிதம் பயன்படுகிறது. வங்கிகளின் வட்டி விகிதத்தைக் கணக்கிடவும் கடனுக்கான திருப்பிச் செலுத்தப்படும் தொகையைக் கணக்கிடவும் இயற்கணிதம் பயன்படுகிறது. பண வளர்ச்சியைக் கண்டறியவும் பயன்படுகிறது.
ஒருவருடைய உயரம், உடல் பருமன் போன்றவற்றைக் கட்டுப்படுத்தத் தேவையான உணவைத் திட்டமிட இயற்கணிதம் பயன்படுகிறது. ஒருவருடைய வயது மற்றும் எடைக்கு ஏற்ப மருந்துகளின் அளவை திட்டமிட மருத்துவர்கள் இயற்கணிதத்தைப் பயன்படுத்துகின்றனர். சாலைகள், பாலங்கள் மற்றும் குகைப்பாதைகள் அமைப்பதற்குப் பொறியாளர்களும் கட்டடங்களை வடிவமைப்பதற்குக் கட்டடக்கலை பொறியாளர்களும் இயற்கணிதத்தைப் பயன்படுத்துகின்றனர்.
இயற்கணிதத்தில் ஒவ்வொன்றையும் அளவுகளோடு குறிக்கப்படுவதால் அதைப் பயன்படுத்தி வடிவமைக்கப்படும் கட்டமைப்புகள் சரியான விகிதத்தில் இருக்கும். இது கணினி மற்றும் தொலைபேசி ஆகியவற்றில் பயன்படுகின்றன. சில எடுத்துக்காட்டுகளைக் காண்போம். மனிதனுடைய காதுகளின் ஒலி உணரும் திறன் கணக்கிடுவது கடினமான ஒன்றாக இருப்பதால் (1 முதல் 1000 மில்லியன்) ஒலியின் அளவுகளைக் கணக்கிட மடக்கைப் பயன்படுகிறது. தொலைபேசியைக் கண்டுபிடித்த அலெக்சாண்டர் கிரகாம் பெல் (Alexander Graham Bell)-ன் நினைவாகக் காது கேட்கும் திறனுக்கு டெசிபெல் என்ற அலகு பயன்படுத்தப்படுகிறது.
இன்றைய உலக மக்கள் தொகையை அடிப்படையாகக் கொண்டு அதன் பெருகும் விகிதத்தினை படிக்குறிச் சார்புக்குத் தொடர்புபடுத்தித் தோராயமாகக் காணலாம். கதிரியக்கக் கார்பன்-14 என்ற தனிமம் அடுக்குச் சார்பு சூத்திரத்தின்படி சிதைவடைகிறது.
The continuous tenseshows an action that
is, was, or will be in progress at a certain time. The continuous tense is
formed with theverb ‘be’ + -ing form of the verb.
The
Present continuous
It can be used to show an action which is happening at the time of
speaking. Example : I am having dinner at
the moment.
The
Past continuous
It can be used to show an action which was happening in the
past. It is important to remember that the Past continuous is usually used to
show an action which was happening when another action, which is usually
shorter, happened at the same time, stopped the continuous action or started
after the continuous action.
Example : I was walking along
the beach when it started raining.
The
Future continuous
It is used to show that an action will be happening at a time in
the future.
Example : I will be having
dinner at my parents’ house tomorrow.
To find binomial coefficients, we can also use Pascal’s Triangle.
Binomial Expansion
Important points to remember
The total number of terms in the expansion of (x+y)n is (n+1)
The sum of exponents of x and y is always n.
nC0, nC1, nC2, … .., nCn are called binomial coefficients and also represented by C0, C1, C2, ….., Cn
The binomial coefficients, which are equidistant from the beginning and from the ending, are equal, i.e., nC0 = nCn, nC1 = nCn-1 , nC2 = nCn-2 ,….. etc.
Binomial Theorem for Any Index
Let n be a rational number and x be a real number, such that | x | < 1. Then,
ChatGPT can still be a
helpful tool for grammar explanations and practice. You can ask ChatGPT to explain
how to form specific tenses or structures in the language you are studying.
This can provide valuable insights and reinforce your understanding of
grammatical concepts.Yes,
there are a variety of ways to use ChatGPT for language
learning, including treating it as a conversation partner, asking it
for translations, and using it to generate a curriculum or practice exercises. ChatGPT provides
interactive English exercises to help you improve your skills.
ChatGPT helps users practice conversations, writing, grammar, and syntax. Ask
ChatGPT for word meanings, use them in sentences, and copy paste text into
text-to-speech software to practice English. ChatGPT can teach you some vocabulary,
explain grammar, give tips on writing, and create texts for practicing reading,
speaking and listening are out of reach. Technology can't listen
to you and correct your mistakes while you speak or read. Using Chat GPT to generate simple sentences can help you to
quickly learn the basics of English. Once you are comfortable with the basics, you
can start experimenting with more complex sentences.
A tense is a form of the verb that allows you to express time. The tense of the verb tells us when an event or something existed or when a person did something. Past, present, and future are the three main types of tenses.
Apart from the three main types of tenses - present, past, and future -there are different subtypes of tenses. Simple, Continuous, Perfect and Perfect Continuous.
Whatever we want to know about language, society, science, economy, we can get the information we need by reading books or asking someone for an explanation. But mathematics cannot be learned that way.
Continuity
For example, if you want to understand 8th class science or social science, you can study directly. But 8th class maths can't be understood if you read directly to know it. Maths book for class 8 can be understood only if you have read maths books up to class 7 before that. Because the continuation of mathematics studied till class 7 will continue in class 8. Therefore, mathematics can be called a sequential language.
It is because we do not understand this fact that we force students to study 10th and 12th directly without studying it when they study 9th and 11th. This is why they are forced to memorize and study.
Even a student who scores high in all subjects cannot score high in Mathematics. Because no one understands that it is a serial language.
In school, especially students who score 100 out of 100 in 10th class are not even able to pass in 12th class. Those who scored well in class 12 could not score even the minimum marks when they came to college.
All of a sudden the math subjects students face are thrown into a very difficult situation.
Mathematics is a unique skill
Learning mathematics is not like learning any other subject. This requires different learning skills. For other subjects just read the books for them, understand them and then write the exam. But, to succeed in maths, some more strategies need to be mastered.
Mathematics is like a foreign language. Trigonometry is a language; Among them, Sin and Cos are new words of the language. Without knowing these new words, it is very difficult to understand the language.
Just by knowing the four steps given below, you can excel in maths.
1. Understanding
2. Expressing understanding
3. Applying what has been learned
4. Looking back
Let's look at some examples.
We study about the Himalayas and learn about its characteristics like length, height etc. Then we recall and write again in the exam. You don't need to visit the Himalayas to know if what you've read about Himalayas is true or not. But, you can't pass Maths in the above way.
If there is no ability to use it, it cannot be called mathematical knowledge.
Like music, painting and learning other languages, mathematics is a special skill.
மொழி, சமூகம், அறிவியல், பொருளாதாரம் என எதைப் பற்றித் தெரிந்துகொள்ள வேண்டுமென்றாலும் அதற்கான புத்தகங்களைப் படித்தாலோ, ஒருவரிடமிருந்து விளக்கத்தைக் கேட்டாலோ நமக்குத் தேவையான தகவலைத் தெரிந்துகொள்ளலாம். ஆனால், கணிதத்தை அப்படித் தெரிந்துகொள்ள முடியாது.
தொடர்மொழி
உதாரணமாக, 8-ம் வகுப்பு அறிவியலையோ, சமூக அறிவியலையோ புரிந்துகொள்ள வேண்டுமென்றால் நேரடியாகப் படித்துத் தெரிந்துகொள்ளலாம். ஆனால், 8-ம் வகுப்புக் கணிதத்தைத் தெரிந்துகொள்வதற்காக நேரடியாகப் படித்தால் நிச்சயமாகப் புரிந்துகொள்ள முடியாது. அதற்கு முன்பு 7-ம் வகுப்பு வரை உள்ள கணிதப் புத்தகங்களைப் படித்திருந்தால் மட்டுமே 8-ம் வகுப்புக்கான கணிதப் புத்தகம் புரியும். ஏனெனில், 7-ம் வகுப்பு வரை படித்த கணிதத்தின் தொடர்ச்சியே 8-ம் வகுப்பில் தொடரும். எனவே, கணிதத்தை ஒரு தொடர்மொழி (Sequential Language) என அழைக்கலாம்.
இந்த உண்மையைப் புரிந்துகொள்ளாமல் இருப்பதால்தான் நாம் 9-ம் வகுப்பு படிக்கும்போதும், 11-ம் வகுப்பு படிக்கும்போதும் அதைப் படிக்காமல் 10-ம் வகுப்பு, 12-ம் வகுப்புப் பாடங்களை நேரடியாகப் படிக்க மாணவர்களை வற்புறுத்துகிறோம். இதனால்தான் அவர்கள் மனப்பாடம் செய்து படிக்க வேண்டிய சூழ்நிலைக்குத் தள்ளப்படுகிறார்கள்.
அனைத்துப் பாடங்களிலும் அதிக மதிப்பெண்கள் வாங்கும் மாணவரால்கூடக் கணிதத்தில் அதிக மதிப்பெண்களை வாங்க முடியவில்லை. ஏனெனில் அது ஒரு தொடர்மொழி என்பதை யாரும் புரிந்துகொள்வதில்லை.
பள்ளியில், குறிப்பாக 10-ம் வகுப்பில் 100 க்கு 100 எடுக்கும் மாணவர்கள் 12-ம் வகுப்பில் தேர்ச்சிகூடப் பெற முடியவில்லை. 12-ம் வகுப்பில் சிறப்பாக மதிப்பெண் பெற்றவர்களால் கல்லூரி வரும்போது குறைந்தபட்ச மதிப்பெண்கள் கூட எடுக்க முடியவில்லை.
திடீரென்று மாணவர்கள் எதிர்கொள்ளும் கணிதப் பாடங்கள் மிகவும் கடினமான சூழ்நிலைக்குள் தள்ளிவிடுகின்றன.
கணிதம் தனித்திறன்
கணிதம் கற்பது மற்ற பாடங்களைக் கற்பது போன்று அல்ல. இதற்கென்று வித்தியாசமான கற்கும் திறன் தேவைப்படுகிறது. மற்ற பாடங்களுக்கு அவற்றுக்கான புத்தகங்களைப் படித்து, புரிந்துகொண்டு பின்பு தேர்வில் எழுதினாலே போதும். ஆனால், கணிதத்தில் வெற்றிபெற இன்னும் சில உத்திகளைக் கையாள வேண்டும்.
கணிதம் ஒரு வேற்று மொழி போன்றது. முக்கோணவியல் ஒரு மொழி; அதில் Sin ,Cos போன்றவை மொழியின் புது வார்த்தைகள். இந்தப் புது வார்த்தைகளைத் தெரிந்துகொள்ளாமல், மொழியைப் புரிந்துகொள்வது மிகவும் கடினம்.
கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ள நான்கு நிலைகளைத் தெரிந்துகொண்டாலே போதும், நீங்கள் கணிதத்தில் சிறந்து விளங்கலாம்.
1. புரிந்துகொள்ளுதல்
2. புரிந்துகொண்டதை வெளிப்படுத்துதல்
3. கற்றுக்கொண்டதைப் பயன்படுத்துதல்
4. மீண்டும் நினைவுபடுத்திப் பார்த்தல்
உதாரணத்துக்குச் சிலவற்றை பார்க்கலாம்.
இமயமலையைப் பற்றிப் படிக்கிறோம், அதன் நீளம், உயரம் முதலான அதன் தன்மைகளைத் தெரிந்துகொள்கிறோம். பின்பு தேர்வில் மீண்டும் நினைவுகூர்ந்து எழுதுகிறோம். நீங்கள் இமயமலையைப் பற்றிப் படித்தது உன்மையா, இல்லையா என்பதைத் தெரிந்துகொள்ள நேரில் சென்று பார்க்க வேண்டிய அவசியம் இல்லை. ஆனால், கணிதப் பாடத்தில் நீங்கள் மேற்கண்ட முறையில் தேர்ச்சி பெற முடியாது.
பயன்படுத்தும் திறன் இல்லை யெனில், அதனைக் கணிதத்துக்கான அறிவாகச் சொல்ல முடியாது.
இசை, ஓவியம், பிற மொழிகளைக் கற்றல் ஆகியவை போன்றுதான் கணிதமும் ஒரு தனித்திறன்.
Creating the Adjugate Matrix to Find the Inverse Matrix
1
Check the determinant of the matrix. You need to calculate the determinant of the matrix as an initial step. If the determinant is 0, then your work is finished, because the matrix has no inverse. The determinant of matrix M can be represented symbolically as det(M).[1]
For a 3x3 matrix, find the determinant by first
2
Transpose the original matrix. Transposing means reflecting the matrix about the main diagonal, or equivalently, swapping the (i,j)th element and the (j,i)th. When you transpose the terms of the matrix, you should see that the main diagonal (from upper left to lower right) is unchanged.[2]
Another way to think of transposing is that you rewrite the first row as the first column, the middle row becomes the middle column, and the third row becomes the third column. Notice the colored elements in the diagram above and see where the numbers have changed position.
3
Find the determinant of each of the 2x2 minor matrices. Every item of the newly transposed 3x3 matrix is associated with a corresponding 2x2 “minor” matrix. To find the right minor matrix for each term, first highlight the row and column of the term you begin with. This should include five terms of the matrix. The remaining four terms make up the minor matrix.[3]
In the example shown above, if you want the minor matrix of the term in the second row, first column, you highlight the five terms that are in the second row and the first column. The remaining four terms are the corresponding minor matrix.
Find the determinant of each minor matrix by cross-multiplying the diagonals and subtracting, as shown.
Create the matrix of cofactors. Place the results of the previous step into a new matrix of cofactors by aligning each minor matrix determinant with the corresponding position in the original matrix. Thus, the determinant that you calculated from item (1,1) of the original matrix goes in position (1,1). You must then reverse the sign of alternating terms of this new matrix, following the “checkerboard” pattern shown.[4]
When assigning signs, the first element of the first row keeps its original sign. The second element is reversed. The third element keeps its original sign. Continue on with the rest of the matrix in this fashion. Note that the (+) or (-) signs in the checkerboard diagram do not suggest that the final term should be positive or negative. They are indicators of keeping (+) or reversing (-) whatever sign the number originally had.
The final result of this step is called the adjugate matrix of the original. This is sometimes referred to as the adjoint matrix. The adjugate matrix is noted as Adj(M).
5
Divide each term of the adjugate matrix by the determinant. Recall the determinant of M that you calculated in the first step (to check that the inverse was possible). You now divide every term of the matrix by that value. Place the result of each calculation into the spot of the original term. The result is the inverse of the original matrix.[5]
For the sample matrix shown in the diagram, the determinant is 1. Therefore, dividing every term of the adjugate matrix results in the adjugate matrix itself. (You won’t always be so lucky.)
Instead of dividing, some sources represent this step as multiplying each term of M by 1/det(M). Mathematically, these are equivalent.
If the rational number and -1 < x <1, then,
